MECANICA CELESTE

 LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

1. LEYES DE KEPPLER: 

Johannes Kepler

(Würtemburg, actual Alemania, 1571 - Ratisbona, id., 1630) Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario (que sirvió por dinero en las huestes del duque de Alba y desapareció en el exilio en 1589) y de una madre sospechosa de practicar la brujería, Johannes Kepler superó las secuelas de una infancia desgraciada y sórdida merced a su tenacidad e inteligencia.

Johannes Kepler

Tras estudiar en los seminarios de Adelberg y Maulbronn, Kepler ingresó en la Universidad de Tubinga (1588), donde cursó los estudios de teología y fue también discípulo del astrónomo Michael Mästlin, seguidor de Copérnico. En 1594, sin embargo, interrumpió su carrera teológica al aceptar una plaza como profesor de matemáticas en el seminario protestante de Graz.

Cuatro años más tarde, unos meses después de contraer un matrimonio de conveniencia, el edicto del archiduque Fernando contra los maestros protestantes le obligó a abandonar Austria, y en 1600 se trasladó a Praga invitado por Tycho Brahe. Cuando éste murió repentinamente al año siguiente, Kepler lo sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II, con el encargo de acabar las tablas astronómicas iniciadas por Brahe y en calidad de consejero astrológico, función a la que recurrió con frecuencia para ganarse la vida.

Ticho Brahe: Thyge Ottesen Brahe; Castillo de Knudstrup, Escania; 14 de diciembre de 1546 – Praga, 24 de octubre de 1601) fue un astrónomo danés, considerado el más grande observador del cielo en el período anterior a la invención del telescopio. 

En 1611 fallecieron su esposa y uno de sus tres hijos; poco tiempo después, tras el óbito del emperador y la subida al trono de su hermano Matías de Habsburgo, fue nombrado profesor de matemáticas en Linz. Allí residió Kepler hasta que, en 1626, las dificultades económicas y el clima de inestabilidad originado por la guerra de los Treinta Años lo llevaron a Ulm, donde supervisó la impresión de las Tablas rudolfinas, iniciadas por Brahe y completadas en 1624 por él mismo utilizando las leyes relativas a los movimientos planetarios que aquél estableció.

En 1628 pasó al servicio de Albrecht von Wallenstein, en Sagan (Silesia), quien le prometió, en vano, resarcirle de la deuda contraída con él por la Corona a lo largo de los años. Un mes antes de morir, víctima de la fiebre, Kepler había abandonado Silesia en busca de un nuevo empleo.

Las leyes de Kepler

La primera etapa en la obra de Kepler, desarrollada durante sus años en Graz, se centró en los problemas relacionados con las órbitas planetarias, así como en las velocidades variables con que los planetas las recorren, para lo que partió de la antigua concepción de la escuela de Pitágoras, según la cual el mundo se rige en base a una armonía preestablecida. Tras intentar una solución aritmética de la cuestión, creyó encontrar una respuesta geométrica relacionando los intervalos entre las órbitas de los seis planetas entonces conocidos con los cinco sólidos regulares. Juzgó haber resuelto así un «misterio cosmográfico» que expuso en su primera obra, Mysterium cosmographicum (El misterio cosmográfico, 1596), de la que envió un ejemplar a Brahe y otro a Galileo, con el cual mantuvo una esporádica relación epistolar y a quien se unió en la defensa de la causa copernicana.

Durante el tiempo que permaneció en Praga, Kepler realizó una notable labor en el campo de la óptica: enunció una primera aproximación satisfactoria de la ley de la refracción, distinguió por vez primera claramente entre los problemas físicos de la visión y sus aspectos fisiológicos y analizó el aspecto geométrico de diversos sistemas ópticos.

video:  Leyes de Keppelr: https://www.youtube.com/watch?v=sZFGRHarvHk

En resumen:

1°LEY (Ley de las orbitas) : Primera ley (1609)

Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

2° LEY (Ley de las Áreas): Segunda ley (1609)

El radio vector que une un planeta y el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.

3° LEY (Ley de los periodos o Ley Armónica): Tercera ley (1619)

Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{a^{3}}}=C={\text{constante}}}$     . Para el Sistema Solar C = k = 3.10^-19 s²/m³

Donde, T  es el período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), a  la distancia media del planeta con el Sol y C  la constante de proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y el sol.

2. LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL:

La Ley de Gravitación Universal es una de las leyes físicas formuladas por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687. Describe la interacción gravitatoria entre cuerpos masivos, y establece una relación de proporcionalidad de la fuerza gravitatoria con la masa de los cuerpos.

EXPRESA QUE:  "La fuera de atracción entre dos cuerpos, en el universo, es directamente proporcional al producto de sus masas e inversa al cuadrado de la distancia que los separa"

Esa ley la obtuvo Newton , partiendo la primera de keppler, considerando las orbitas de los planetas como circulares  y con la  tercera del de Keppler, relacionando periodo y distancia.  Después de varias reducciones, encontró la expresión final que la llamo. " Ley de la gravitación universal"

expresada así: 

 Donde F, es la fuerza de atracción, m, la masa del cuerpo y r, la distancia que los separa.

    El valor de la constante de gravitacion universal, que fue calculada por e matematico y            fisico ingles, henrry Gavendish, fue 

     G =  6.67×10-11 N.m2/kg2) 

Ejemplo de aplicación: 

Supongamos que una masa de 800 kg y otra de 500 kg se atraen en el vacío, separadas por un distancia de 3 metros. ¿Cómo podemos calcular la fuerza de atracción que experimentan?

R// Simplemente aplicando la fórmula:

F = G. (m1.m2)/r2

Que será: F = (6.67×10-11 N.m2/kg2) . (800 kg . 500 kg) / (3m)2

Y luego: F = 2.964 x 10-6 N.

Fuente: https://concepto.de/ley-de-gravitacion-universal/#ixzz6bMCSZySK

ANEXO N°1. LA GRAVEDAD DE LOSPLANETAS DEL SISTEMA SOLAR

Cuál es la gravedad de los planetas del Sistema Solar?

R// La siguiente tabla muestra cual es la gravedad de cada uno de los planetas:

Planeta	Gravedad
Mercurio	3,7 m/s²
Venus	8,87 m/s²
La Tierra	9, 8 m/s²
Marte	3,71 m/s²
Júpiter	24,79 m/s²
Saturno	10,44 m/s²
Urano	8,87 m/s²
Neptuno	11,15 m/s²
Plutón	0,62 m/s².

Esta es la gravedad de todos los planetas del sistema solar. 

 

La gravedad de la luna es 1.62 m/s² y la gravedad de Plutón que es un planeta enano es de 0,62 m/s². La gravedad del Sol nuestra estrella es de 274 m/s².

Pero la fuerza de la gravedad no es solo la responsable de que caiga la manzana en un planeta, también es responsable de que los planetas giren alrededor del Sol atrayéndose los unos a los otros con una interacción gravitatoria.

"La manzana en su caída también atrae al planeta, lo que ocurre es que el planeta apenas se mueve porque su masa es infinitamente mayor. Esto es una consecuencia de lo que se conoce como la «Ley de gravitación Universal» y fue formulada por Sir Isaac Newton."

EJERCICIOS DE APLICACION:  

1. El planeta tierra posee un satélite natural llamado “Luna”, Puesto que la luna se encuentra a una distancia promedio de 384,400 km de la tierra, y tiene un periodo orbital de 27 días, calcule la masa de la tierra.  ( F = 1,6 E 20 N )

2.  Sabiendo que el satélite Europa del planeta Júpiter tiene un periodo de revolución de 3.551181 días y una distancia media al planeta de 671100 km, determina la masa del planeta Júpiter.

2. Determina el periodo y la velocidad orbital de un satélite que orbita circularmente a 300 km de altura sobre la Tierra. ¿Cumple este valor la tercera ley de Kepler?

      Datos: Radio de la Tierra 6370 km; Masa de la Tierra: 5.97·1024 kg

      3.  ¿A qué distancia se encuentran dos masas de 6×10^-2 kg y 7×10^-3 kg, si la magnitud

       de la fuerza con la que se atraen es de 9×10^-9 N?

     4. La fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas m1, y m2, que se encuentran         separados una distancia d es F. Si la distancia se incrementa al doble, ¿qué sucede con la magnitud de la nueva fuerza de atracción?

      5. Calcular la masa de un perro si la magnitud de la fuerza gravitacional con que se atrae con un cordero de 25 kg es de 40×10^-11 N y la distancia a la que se encuentran uno del otro es de 3.5 metros.

       6. La Tierra orbita alrededor del Sol con un periodo de 365,25 días. Calcular la distancia media entre la Tierra y el Sol. DATOS: La constante de Kepler para el Sistema Solar vale: k = 3.10-19 s 2 /m3.

      7. El valor de la gravedad varía si nos alejamos de la superficie terrestre. Calcular a qué altura deberemos situarnos de la superficie de la Tierra para que g = 5 m/s2 DATOS: Considerar g = 10 m/s 2 como valor en la superficie. Masa de la Tierra: 6,0.1024 kg. Radio de la Tierra: 6400 km.

Nota:  utilice la expresión: g = G . M / (R + h )2

                                                          DESARROLLO